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忠孝仁义是大丈夫所为我愿一辈子遵守这样的守则,富贵不淫贫贱不移威武不屈,任何伤害击倒不了我,我站起来的每一天都是胜利在召唤,我重视情感,因为那是生存的目的,我永远会珍惜。感恩感谢生命中所拥有的一切美好事和物,它们点亮了我生命的旅程,让我历经黑暗后能拥抱每一个灿烂的黎明在不屈中还能保持着一颗勇敢的心。

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从囚徒困境到博弈论  

2013-07-02 22:16:51|  分类: 每天读点心理学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自太阳神营销精英团队《从囚徒困境到博弈论》
今天我要讲的是博弈论(也叫对策论),这本来是一门很深的学问,在学校里至少要讲一个学期,甚至还有专门的博士课程。但在这里我不可能讲这么多,我只能做一个简单的概括,把它的基本概念、研究方法和一般规律给大家介绍出来。

从囚犯难题说起

我们先从一个常见的案例说起。这个故事是这样的:
有一个富人在家中被谋杀,他的财产被盗。警方在侦讯过程中抓到两名嫌疑犯:甲和乙,并在他们家中搜出了被盗的财物。但甲、乙都否认杀人,声称他们进入被害 人家中时那个人已经死去。所以警方肯定他们至少犯下了盗窃罪,但对他们是否杀死了被害人并没有把握。于是警方在把他们隔离的情况下分别对他们表示:因为偷 东西已经有确凿证据,这将被判刑2年;如果拒不承认杀人而被另一方检举,将被判刑20年,而检举的一方可以受奖无罪释放;如果双方都坦白杀人,将各被判刑 10年。这样,甲乙可能面临的判决如下:
 
通过分析可以看出,最后的结果是甲乙都会承认杀人。因为对本人来说,不管对方承认不承认,自己承认总比不承认好。如果对方不承认,自己承认相比不承认等于 从判刑2年改为无罪释放;如果对方承认,自己承认相比不承认相当于从判刑20年减到了10年。这样,对甲乙双方来说,最佳的选择都是承认杀人。
这个结果与他们是否真的杀了人无关,即使他们没有杀人,也会承认杀人。由于特定的选择条件,本来对双方最有利的结局(都不承认杀人,各被判刑2年)不会出 现,出现的是对双方都不利的结果,这就是所谓的“囚犯困境”。我们想想看,“文革”时期坦白从宽、抗拒从严的政策使一大批人承认了自己从没有犯过的“罪 行”,原因就在于此。
“囚徒困境”具有非常深刻的含义,它说明了为什么短视地追求自己利益将导致对大家都不利的结局。现实中类似的例子还很多,比如为了图一时的方便,大家都不 按交通规则行事,结果导致交通瘫痪;再比如前些年很多单位拿国家的钱争相发奖金,结果导致了全社会的通货膨胀。不同的是,在囚徒困境模型里只涉及两个人, 如果这种情况重复出现,两个人很容易从失败中吸取教训,从选择承认杀人改为不承认,这样,处境就可以改善。而生活中很多类似囚徒困境的情况涉及到成千上万 的单位或个人,要想让他们一致地改进策略就非常困难。
在囚徒困境中,双方都承认杀人是一个稳定的结果,因为任何一方一旦单独离开这个选择,只会使自己的处境变得更坏。在多次重复的情况下,双方可能通过吸取教 训改变策略(都不承认罪行),使双方都能受益。然而这又是一个比较脆弱的均衡,因为任何一方一旦突然改变策略,承认罪行,又可以立刻得利。但这种利益也不 会长久,到了下一次,对方必然也承认罪行,从而回到最初对双方都不利的状况。所以,除非双方都能着眼于长远利益,并克服侥幸的心理,他们才可能走出困境。

博弈论的基本概念和分析方法

“囚 徒困境”其实是博弈论里一个特定的例子。博弈论又叫对策论,它研究两人或多人对局时,各方如何决定自己的策略,以求得最佳结果。在博弈中各方都有几种可供 选择的着法,各方虽然知道每种对策所导致的后果,但并不知道对方将选择何种着法。它是对利益对立条件下人的选择规律性的客观研究,它不偏袒任何一方,它既 要考虑如何进攻,又要考虑如何防御。
博奕论中的对局(game),定义为有一定人数参加(不是变换着的)、每人有一定数目的策略(strategy)。各方的策略给定后,称为一个局 (play)。对所有发生的局都有一个支付数量(payoff),就称为对策。下面我们再举一个例子来说明博弈论的分析方法。
设甲、乙二人参加一种游戏,甲有两种选择:A1或A2;乙也有两种选择:B1或B2。游戏规则规定:如果甲选择 A1,乙选择B1,则乙付给甲1元;如果甲选择A1,乙选择B2,甲付给乙1元;如果甲选择A2,乙选择B1,乙付给甲2元;如果甲选择A2,乙选择 B2,甲付给乙2元。我们可以把游戏规则用一个方阵来表示:
 
这个方阵我们称为甲的支付矩阵,矩阵中的正数表示甲的所得、乙的支付,而负数表示甲的支付、乙的所得。类似地,可以想象,乙也有一个支付矩阵,其中的数字正好跟甲的支付矩阵反号。这样,我们看甲乙二人会如何选择。
对乙来说,最有利的选择是B2,这样他肯定赢钱,至少能得到1元。如果选B1,他不仅不可能赢钱,反而必须付钱。
对甲来说,最有利的结果是A2B1,但他知道,乙不可能选B1,所以他只能选A1,这样能把损失降到最低。
所以,最后的结果是A1B2,甲付给乙1元。对这个结果,双方都没有改进的余地,如果改变策略只能使自己的处境变得更糟,因而都不愿意改变策略,我们称之 为纳什均衡。在例中,对任何一个局,一方的收入等于另一方的付出,参与各方损益之和为零,称为零和对局。容易看出,零和对局的特点一方的支付矩阵为另一方 支付矩阵的反号。
我们知道,经济活动中的商品交换不是零和对局。参与交换的人都能从中得益,所以他们才有参与的积极性。股票市场也不是零和对局。一个正常的股票市场,从总量上看,投资者赚的钱一定大于赔的钱,这是因为股票市场能促进资源优化配置,为社会创造了财富。
前面支付矩阵得到的结果-1(A1B2)还有一个特点,它是所在行中的最小值,又是所在列中的最大值,我们称之为鞍点。当支付矩阵有鞍点时,双方将稳定在这个点上,不再移动。此策略称为博奕对局的稳定解,简称解。

较复杂的博弈方式:混合策略

对于没有鞍点的对局,双方将采取碰运气的方式混合使用各种策略。下面举一个例子:
 

在这个矩阵中,找不一个点,在所在行中为最小,同时在所在列中为最大,所以它没有鞍点。这个对局没有一个稳定的解。
设想一下,如果甲选择A1,乙将选择B1;如果乙选择B1,甲又会变为A2;如果甲变为A2,乙又会跑到B2;如果乙到了B2,甲又会选择A1……如此往 复,永远找不到一个稳定的解。对这样的对局,双方无法推测对方的策略是什么,因此只能碰运气,混合使用各种策略。
值得注意的是,混合策略也有均衡解,即按概率分配每种策略,使得结局为最优。这种情况可以引用一个案例来说明(本例为讲座后收集补充)。我们来看一个犯罪者与警察的支付矩阵(假定犯罪者在警察休息时一定作案成功,在警察巡逻时作案一定会被抓住):
 
这个矩阵的数字含义表示:警察巡逻,犯罪者不作案,双方都没有收益也没有损失;警察巡逻,犯罪者作案,警察因抓到罪犯受到表彰,得到效用2单位,罪犯被判 刑丧失效用2单位;警察休息,犯罪者不作案,警察休息的很愉快得到效用2单位,犯罪者没有收益也没有损失;警察休息,犯罪者作案,警察因失职被处分而丧失 效用1单位,罪犯犯罪成功获得效用1单位。这个博弈是没有纳什均衡的。
但是,如果警察知道犯罪者以p的概率选择作案(不作案概率就为1-p),他该怎样采取自己的行动?对警察而言,巡逻的预期效用为0×(1-p)+2p= 2p,休息的预期效用为2×(1-p)-1×p=2-3p。显然,当2p>2-3p即p>0.4的时候,警察最好选择巡逻;反之2p< 2-3p即p<0.4的时候,警察宁愿选择休息。假设警察应以q的概率巡逻(休息的概率就为1-q),那么犯罪者最好的行动是什么?他作案的预期效 用是-2×q+1×(1-q)=1-3q,不作案的预期效用为0×q+0×(1-q)=0。显然,当1-3q>0即q<0.33时,他的理性 选择是作案,反之不作案。在这个博弈中,警察以0.33的概率巡逻0.67的概率休息,犯罪者以0.4的概率作案0.6的概率不作案构成一个混合纳什均 衡。

博弈均衡的一般规律

为了总结求解零和对局的一般规律,我们再来看一个更复杂的例子。以下为甲的支付矩阵(乙的支付矩阵与此反号):
 

在对局中,甲有4种选择,乙有5种选择,现在来看二人如何选择自己的策略。
甲作选择时,会这么考虑:如果自己选A1,对方为了最大限度降低损失,必然选B5。同理,如果自己选A2,对方必然选B3;如果自己选A3,对方必然选 B1;如果自己选A4,对方必然选B5。比较四个可能出现的结果(表中斜体字):0、4、2、1,对甲最有利的是4,所以甲会选择A2。
乙作选择时,将这么考虑:如果自己选B1,对方为了最大限度受益,必然选A1。同理,如果自己选B2,对方必然选A4;如果自己选B3,对方必然选A2; 如果自己选B4,对方必然选A1;如果自己选B5,对方必然选A3。比较五个可能出现的结果(表中粗体字):9、6、4、8、8,对乙最有利的是4,所以 乙会选择B3。
最后的结果是A2B3——乙向甲支付4,这是一个稳定解(也是纳什均衡),无论甲或乙都不会离开这个策略,因为离开将对自己不利。支付值4有一个特点,它 是各行的最小值中最大者,同时又是各列中最大值中的最小者,这就是鞍点。由此可以得出求解二人零和对局的一般方法:寻找支付矩阵各行中最小值中的最大者 (Maximin),同时寻找各列中最大值中的最小者(Minimax),如果两者重合,重合点就是对局的鞍点,此时我们称之为纯策略的均衡解。
根据支付矩阵横行的Maximin=竖列的Minimax求解零和对局的规律,我们再来回顾前面第一个对局中的求解过程。
在例中,甲选择的每一个策略中都有一个损失最大的。他会比较所有策略中损失最大的结果中选损失最小的。其他策略可能有得益,但是也可能损失更大。如果对方 是聪明的,就不会制造空子。所以甲将在横行中选择策略A1(如果选择策略A2他可能损失2,现在顶多损失1),这是选择最小值中的最大者,即 Maximin。
乙选择策略的原则也类似,他将找出同一支付矩阵各列中的最小者,然后比较这些最小值,找出最大的,即Minimax(也是对他自己的支付矩阵中的 Minimax)如果此结果与甲所选的结果重合,则该对局有解。稳定解所对应的支付值为对局的值。在上例中即为-1(A1B2)。
博弈矩阵中Minimax=Maximin代表最优均衡解的概念有着深刻而普遍的经济学含义。市场均衡中需求和供给的交点即意味着Minimax of demand set(需求方最大值中的最小者)=Maximin of supply set(供给方最小值中的最大者)。我们可以通过供求曲线的相交来说明这个道理。如图:

 

D 为某商品的需求线,它代表商品的价格越低,愿意购买的人就越多。例如,当价格为16时,购买者为4;价格为13时,购买者为8;价格为10时,购买者为 11……在这里,可以把需求线看作一个连续变动的过程,当价格一点一点降低时,购买者在一点一点增加。需求线上的每一个点,既代表一个价格,又代表一个消 费者的购买量,该价格是该消费者对该商品的最高出价,一旦售价高于此价格,消费者将放弃购买。所以,需求线代表着一组最高出价的集合,此集合中的元素从高 到低排列,就构成了向右下倾斜的需求线。需求线上的每一个点表示最高出价(该点左边的点的集合)集合中的最低价,也就是Minimax.
再看供给线S,它代表商品的价格越高,愿意出售的人就越多。例如,当价格为5时,出售者为6;价格为8时,出售者为9,当价格为10时,出售者为11…… 在这里,同样可以把供给线看作一个连续变动的过程,它意味着当价格一点点上升时,出售者会一点点增加。供给线上每一个点都代表一个出售者的最低售价,如果 价格低于这个水平,出售者将放弃出售。所以,供给线代表一组最低售价的集合,此集合中的元素从低到高排列,就构成了向右上爬升的供给线。供给线上的每一个 点表示最低要价(该点左边的点的集合)集合中的最高价,也就是Maximin.
通过市场交易,最后需求线和供给线的交点将形成均衡点,此时有11(个)人愿意以10(元)的价格购买此商品,同时又有11(个)人愿意以10(元)的价 格出售此商品,市场将完全出清。均衡价格10既是每个购买者最高出价中的最低价,又是每个出售者最低要价中的最高价,这就是我们前面所说的Minimax =Maximin。此时,市场处于稳定状态,且消费者剩余和生产者剩余达到最大,为最优均衡解。

博弈论和信息经济学的简单应用

下面来谈博弈论和信息经济学的一些简单案例。
有一个居民区,由于没有安装街灯,因此带来了很多不便。于是管理部门准备通过集资来解决这个问题。但在管理者向居民们收费的时候,却出现了问题:因为各个 家庭的收入不同,具体情况也不一样:有的上夜班,有的不上夜班,有的家庭老人妇女多,有的都是青壮少年……这样,他们对街灯的需求不相同,管理者也就无法 向他们收取统一的费用。
我们可以想象,其实每个家庭对街灯给自己带来的好处都有一个评价。据此,管理者可以让他们自愿进行出资报价,如果报价之和大于修建街灯的费用,则街灯可以 设置,余款按比例退回出资本人,这样最为公平合理。但是问题在于,由于有搭便车的思想,各个家庭在报价的时候报出的数字往往少于其真实评价。例如,我本来 觉得设置路灯对我的好处能值100元,但我只报60元,我希望自己少出点钱,别人多出钱,而我一样能享受到街灯的好处。这个想法是比较“聪明”,但如果人 人都跟我一样想,街灯就可能因为经费不足无法修建起来。这种情况经常发生。
如何让大家都说真话呢?研究者提出这样的办法:管理者首先要向居民申明,如果报价之和超出修建街灯的费用,余款按出资比例退回,多报多退,少报少退,这样 很大程度上可以减轻大家按真实估价报价的顾虑。但即便这样,仍然可能出现报价不足的情况。这时候要采用多次博弈的方法:在保密条件下重复报价,第一次不行 报第二次,第二次不行报第三次……这样的重复报价对己无损,且因为各家各户都希望街灯能修建起来,所以他们会愿意参与重复报价,并逐渐提高出价,直到凑够 修建费用或达到他们的真实评价为止。
经验表明,上述方法在公共决策问题上能够有效发挥作用,但也有少数情况不能达到目的(例如上面的例子中如果修建街灯的费用超出了居民的预期收益,则无法筹集足够的修建经费)。这就是对策论和信息经济学在现实生活中的一例具体运用。
还有一种关于对策论的研究是对拍卖的研究。一般来说,拍卖有四种方式:英国式、荷兰式、最高价封标拍卖和第二价格封标拍卖。
英国式拍卖是我们最为常见的:由拍卖师从低到高公开叫价,潜在的买主如果认为价格可以接受,就举牌应价。通过买主的竞争,到最后只剩下一个应价者的时候, 买卖双方就按此时的叫价成交。这种拍卖一般都设定最低价,如果连最低价也无人应价,拍卖就中止,并不进行交易。这种拍卖适用于艺术品、土地等时效性不是很 强的商品。
另一种公开叫价的拍卖还有荷兰式拍卖:它由拍卖师从一个相当高的价位开始叫价,从高到低,一旦有第一位卖主接受叫价,就按照这个价格成交。荷兰式拍卖适用于时效性比较强的商品。如鲜花和活鱼这样的商品,不及时脱手不行,因此常采用荷兰式拍卖。
最高价封标拍卖采用书面投标的形式,先由买家分别保密报价,然后公布投标结果,由出价最高的买家购得商品。
第二价格封标拍卖跟上面的最高价封标拍卖类似,不同的是:前者是按最高出价成交,而后者是按次高价成交。举例说:四个人竞购一个拍卖品,甲乙丙丁分别秘密 出价6、7、8、9,开标后,出价最高的丁将按次高的出价8购得拍卖品,这就是第二价格封标拍卖。这种方式非常有利于杜绝侥幸心理,保证买方以对商品的真 实估价参加竞拍。
上述四种拍卖方式各有不同的适用场合。之所以发展出形式众多的拍卖方式,也是出于鼓励传递真实信息的需要,以达到准确估价,价高者得的目的。而有趣的是, 根据对策论和信息经济学的研究:在竞购者行为理性和数目众多等条件下,上述四种拍卖方式导致的拍卖人的预期收入都是相等的。或者说,四种拍卖的效率都是相 同的。

补充总结

最后我们来回顾一下囚犯难题所体现的深刻意义。囚徒困境的特点,是博弈双方互不信任,采取损人利己的策略,最后导致对双方都不利的结局。这个例子可以很好地说明道德的特点和它产生的过程。
道德的特点是人人遵守、人人受益,但它可能需要牺牲个人的短期利益。曾经有学者指出,人和动物的区别,不是使用工具或使用语言,而是人有道德,知道通过抑 制短期利益获取长期利益。最初,人跟动物一样,是在野蛮争斗的“丛林规则”中生存。后来,通过重复博弈和长期学习,人们意识到道德的重要性,把道德秩序建 立起来,才使人真正从动物世界中分离出来。这一过程了经历很长的时间。
道德的建立非常困难,而它的破坏却很容易。因为在大家都遵守道德的时候,个别人不讲道德反而能获益。例如在马路上,大部分车辆都按顺序行驶,一旦个别车辆 加塞插队,它就能比别人走得快。此时如果守规矩的车觉得吃了亏,也会跟着不守规矩。大家都不守规矩,都加塞排队,就等于道德完全失效。结果如何?不仅没有 人能走得快,反而会使交通陷于瘫痪,大家都走不了。所以缺乏道德的状态也不会一直持续下去,新的道德秩序终究会建立起来。道德就是在反复试错和淘汰的过程 中不断发展的。
专门的研究还表明,在社会发展的长久历程中,道德状态并不完善,往往是大部分人能遵守道德,小部分人道德败坏,但在一定限度内,社会的稳定和发展不会遭到破坏。这说明道德秩序是一个连续性变量。
这是一个非常重要的结论。它告诉我们:道德水平的提高不是一蹴而就的,良好的道德风尚要靠每个人的行动一点一点去积累。特别在整个社会风气恶劣的时候,我 们不能光抱怨别人,而应该从自己做起,从身边做起,奉行良好的道德规则。这样,每多一个讲道德的人,我们的社会就会朝好的方向转变一步。

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